单元22:普通固体的表面积

在本模块中,您可以使用计算器。

我们现在将注意力从二维图形转向三维图形,我们通常称之为三维图形固体,即使它们是中空的。

在本模块中,我们将查看一些常见固体的表面积(我们将在后面的模块中研究体积。)表面积是它听起来的样子:它是固体所有外表面面积的总和。当你因为一张包装纸不够大而难以包装礼物时,你就是在处理表面积。

有两种不同的表面积是重要的:侧表面积(LSA)和总表面积(TSA)。

为了可视化LSA和TSA之间的差异,考虑一罐汤。侧表面积将用于测量罐周围的纸标签的大小。可以用来测量金属片的总面积。换句话说,总表面积包括顶部和底部,而侧表面积不包括。


矩形实体

一个三维矩形框,其底部前缘标记为l,底部右侧边缘标记为w,垂直右侧边缘标记为h

A.矩形实体看起来像个长方形的盒子。它有三对大小相等的矩形,在前面和后面,在左边和右边,在顶部和底部。

一个三维方形框,其底部前缘标记为s,底部右侧边缘标记为s,垂直右侧边缘标记为s

A.立方体是一种特殊的矩形实体,所有六个面都有大小相等的正方形。

侧表面积是固体的四个垂直面的总面积,而不是顶部和底部。如果你在粉刷一个房间的四面墙,你会想到侧面的面积。

总表面积是实体所有六个面的总面积之和。如果你在粉刷一个房间的四面墙、地板和天花板,你会想到总的表面积。

对于具有长度的矩形实体L,宽度W,和高度H[1]

LSA=2lh+2wh

TSA=2lh+2wh+2lw

TSA=LSA+2lw

对于边长的立方体S

LSA=4秒^2

TSA=6秒^2

注:这些尺寸有时称为底部、深度和高度。

练习

1.求这个长方形实体的侧面表面积。

2.求这个矩形实体的总表面积。

汽缸

如本单元前面所述,汤罐的侧面是一个矩形的纸标签。因此圆柱是一个矩形;它的宽度等于圆的周长,2\pi{r},其高度为圆柱体的高度。

由于圆柱体的顶部和底部有大小相等的圆,其总表面积等于侧面表面积加上其中一个圆面积的两倍。

对于具有半径的圆柱体R和高度H

LSA=2\pi{rh}

TSA=2\pi{rh}+2\pi{r^2}

TSA=LSA+2\pi{r^2}

请注意,如果给定圆柱体的直径,则在使用这些公式之前,需要将其切成两半。

练习

3.找出这个圆柱体的侧面表面积。

4.求这个圆柱体的总表面积。

球体

本模块的最后一个实体是,在三维空间中可以看作是一个圆:球面上的每一点离圆心的距离都是相同的。正因为如此,球体只有一个重要的度量:半径。当然,它的直径可能也很重要,但是这个想法是一个球体没有不同的尺寸,比如长度、宽度和高度。球体在每个方向上都有相同的半径(或直径)。

我们需要用微积分来推导一个球体的表面积公式,所以我们就假设它是真的,然后继续手头的工作。请注意,因为球体没有顶面或底面,所以我们不需要担心如何找到侧面表面积。唯一的表面积是总表面积。

对于半径为的球体R或直径D

SA=4\pi{r^2}SA=\pi{d^2}

巧合的是,球体的表面积是4.乘以球体最宽部分横截面圆的面积。你可能会发现尝试想象这一点很有趣,或者去厨房做示范:如果你把一个桔子切成四分之一,其中一个四分之一桔子上的果皮的面积与第一次切割形成的圆的面积相同。

练习

5.找到这个球体的表面积。

半径为7厘米的球体

6.找到这个球体的表面积。

直径为11英寸的球体

  1. 您可以选择使用大写字母作为变量,因为小写字母“l”很容易被误认为数字“1”。

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